Cos'è un semplice oscillatore armonico e le sue applicazioni

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Nella nostra vita quotidiana, osserviamo diversi tipi di movimenti come il movimento lineare di un'auto, il movimento vibratorio di una corda, il movimento circolare di un orologio, ecc ... Uno dei tipi di movimento più interessanti ed essenziali è periodico movimento. Si dice che un corpo si muova con un movimento periodico quando ripete il suo percorso dopo ogni intervallo di tempo. Un esempio di movimento periodico è il movimento delle lancette dell'orologio, la rotazione della terra, il movimento di un pendolo, ecc. Quando questo movimento periodico è circa un punto di riferimento fisso, viene chiamato moto oscillatorio. L'oscillatore armonico semplice è un caso speciale del movimento oscillatorio.

Cos'è un oscillatore armonico semplice?

Un oscillatore che esegue il semplice movimento armonico è chiamato Simple Harmonic Oscillator. Il movimento periodico avanti e indietro delle particelle verso un punto medio fisso è chiamato movimento oscillatorio. È indicato dalla formula F = -kxn, dove n è un numero dispari che denota il numero di oscillazioni. Quando il valore di n = 1, il movimento oscillatorio è chiamato moto armonico semplice.




L'oscillatore armonico semplice è costituito da una molla posizionata orizzontalmente la cui estremità è fissata a un punto fisso e l'altra estremità è fissata a un oggetto in movimento di massa m. La posizione della massa quando è in equilibrio è chiamata posizione media. Quando la massa viene tirata parallelamente all'asse della molla, inizia a muoversi avanti e indietro intorno alla posizione media. Una forza di ripristino, opposta alla direzione di spostamento, agisce sulla massa tirandola verso la posizione media. Questo dispositivo è ora noto come un semplice oscillatore armonico.

Simple Harmonic OscillatorEquazione

Nel moto armonico semplice, la forza di ripristino è direttamente proporzionale allo spostamento della massa e agisce nella direzione opposta a quella dello spostamento, trascinando le particelle verso la posizione media.



Secondo la legge di Newton, la forza che agisce sulla massa m è data da F = -kxn. Qui, k è la costante ex denota lo spostamento dell'oggetto dalla posizione media. Lo spostamento è proporzionale all'accelerazione della massa intorno alla posizione media. Nel moto armonico semplice, il valore di n = 1.

Poiché l'accelerazione è proporzionale allo spostamento, a = dDuex / dt Due. Sostituisci i valori nell'equazione di Newton.


Quindi, F = ma , F = -kx.

Perciò, -kx = ma —- (1)

-kx = m (dDuex / dtDue)

Riorganizzando, -kx / m = (dDuex / dtDue).--(Due)

La funzione la cui derivata seconda è essa stessa con un segno negativo sarà la soluzione semplice oscillatore armonico per l'equazione precedente. Le funzioni seno e coseno soddisfano questo requisito.

f (x) = sin x, (dDuex / dtDue) (f (x)) = -sin x

f (x) = cos x, (dDuex / dtDue) (f (x)) = -cos x

Per semplicità viene scelto il peccato (Φ). L'angolo di fase descrive le posizioni di spostamento della massa dal punto medio. Nella posizione media, Φ = 0. Quando la massa si muove in avanti e raggiunge il punto massimo, Φ = π / 2. Quando la massa ritorna al movimento medio dopo la posizione massima in avanti, Φ = π. Quando la massa si sposta in una posizione arretrata e raggiunge un punto massimo, Φ = 3π / 2 e ora quando si sposta nella posizione media, Φ = 2π.

Il valore impiegato dalla massa per completare un ciclo completo di andata e ritorno è chiamato periodo indicato con T. Il numero di tali oscillazioni che si verificano nell'unità di tempo è chiamato frequenza di oscillazione, f. A denota le posizioni extream dell'oggetto e viene anche chiamato ampiezza. Quindi, lo spostamento del moto armonico semplice è una funzione sinusoidale algebrica data come

x = A sin ωt —- (3)

Dove ω è la frequenza angolare derivata come Φ / t. Da Eqn (2)

-kx / m = (dDuex / dtDue). ω = 2πf, T = 1 / f

x = A sin (2πft + Φ), sostituire in (2)

-k (A sin (2πft + Φ) / m = -4πDuefDueAsin (2πft + Φ)

Risolvendo, f = (1 / 2π) √ (k / m)

ω = √ (k / m)

Quindi, x = Asin√ (k / m) t è l'equazione di un semplice oscillatore armonico.

Grafici di movimento armonico semplice

In un semplice oscillatore armonico, la forza di ripristino che agisce sulla molla è sempre diretta nella direzione opposta allo spostamento della massa. Quando la massa si sposta verso la posizione positiva di extream + A, l'accelerazione e la forza sono negative e sono massime. Quando l'oggetto si sposta verso la posizione media dalla posizione + A, la velocità aumenta mentre l'accelerazione è zero nella posizione media.

Moto armonico semplice.

Moto armonico semplice.

La velocità e la velocità del semplice oscillatore armonico possono essere derivate da quanto sopra semplice forma d'onda dell'oscillatore armonico . Lo spostamento dell'oggetto è dato da x = Asinωt = Asin√ (k / m) t. La velocità è data come V = ωA cos ωt. L'accelerazione è data come a = -ωDueX. Il periodo è dato come T = 1 / f dove f è la frequenza data come ω / 2π, dove ω = √ (k / m).

La forza che agisce sulla massa nella posizione media è 0 e anche la sua accelerazione è 0. In un semplice oscillatore armonico, l'accelerazione è proporzionale allo spostamento. Il segno della forza dipende dalla direzione di spostamento dell'oggetto dalla posizione media.

Semplici applicazioni per oscillatori armonici

Simple Harmonic Oscillator è un sistema a molla. Viene applicato negli orologi come oscillatore, nella chitarra, nel violino. Si vede anche nell'ammortizzatore per auto dove le molle sono attaccate alla ruota dell'auto per garantire una guida più fluida. Il metronomo è anche un semplice oscillatore armonico che genera tick continui che aiutano il musicista a suonare un brano a velocità costante.

Un semplice movimento armonico rientra nella categoria del movimento oscillatorio del movimento periodico. Tutti i movimenti oscillatori sono di natura periodica, ma non tutti i movimenti periodici sono oscillatori. La forza di ripristino in un semplice oscillatore armonico obbedisce Legge di Hooke.

Il movimento armonico semplice dipende dalla rigidità della forza di ripristino e dalla massa dell'oggetto. Un semplice oscillatore armonico con grande massa oscilla con meno frequenza. Il oscillatore con elevata forza di ripristino oscilla ad alta frequenza. I parametri di spostamento, velocità, ampiezza e forza dell'oscillatore armonico semplice sono sempre calcolati dalla posizione media della molla. La frequenza e il periodo delle oscillazioni non sono influenzati dall'ampiezza. Quali sono la velocità e l'accelerazione dell'oggetto quando la molla è nella sua posizione media?