La matematica gioca un ruolo decisivo per comprendere il comportamento e il funzionamento di elettrico e sistemi elettronici . Polinomi, algebra, probabilità, integrazioni e differenziazioni ecc ... costituiscono una parte significativa degli strumenti utilizzati per risolvere i sistemi. Con la crescente complessità dei sistemi, sono necessari metodi molto sofisticati. Le equazioni differenziali sono utilizzate principalmente per definire i sistemi di controllo. Queste equazioni sono semplici da risolvere. Ma la complessità sorge durante la risoluzione di equazioni differenziali di ordine superiore. Per risolvere equazioni differenziali di ordine superiore così complesse, lo è il metodo matematico che si è dimostrato efficace Trasformata di Laplace . Poiché questa trasformazione è ampiamente utilizzata, è utile sapere per cosa intendevano veramente e come funzionano.

Cos'è una trasformazione di Laplace?

In matematica, le trasformazioni vengono applicate per trasformare una variabile da una forma all'altra per rendere l'equazione facile da gestire. La trasformazione di Laplace fa più o meno la stessa cosa. Trasformano un'equazione differenziale di ordine superiore in una forma polinomiale che è molto facile che risolvere direttamente un'equazione differenziale.

Ma ci sono varie trasformazioni come la trasformata di Fourier, le trasformazioni z cosa rende speciale la trasformata di Laplace? Il vantaggio principale della trasformata di Laplace è che sono definiti sia per sistemi stabili che instabili mentre le trasformate di Fourier sono definite solo per sistemi stabili.

Formula di trasformazione di Laplace

Una trasformata di Laplace della funzione f (t) in un dominio del tempo, dove t è il numero reale maggiore o uguale a zero, è data come F (s), dove c'è s è il numero complesso nel dominio della frequenza. s = σ + jω
L'equazione di cui sopra è considerata come unilaterale Equazione della trasformata di Laplace . Quando i limiti sono estesi all'intero asse reale, il Trasformata di Laplace bilaterale può essere definito come
In circuiti pratici come Circuiti RC e RL di solito, vengono utilizzate le condizioni iniziali, quindi vengono applicate trasformate di Laplace unilaterali a scopo di analisi.
Come s = σ + jω, quando σ = 0 la trasformata di Laplace si comporta come la trasformata di Fourier.

“metodi di conversione da dc a ac ”

Formule di trasformazione di Laplace

Condizioni per l'applicabilità della trasformata di Laplace

Le trasformate di Laplace sono chiamate trasformate integrali, quindi ci sono le condizioni necessarie per la convergenza di queste trasformate.
cioè f deve essere integrabile localmente per l'intervallo [0, ∞) e, a seconda che σ sia positivo o negativo, e ^ (- σt) può decadere o crescere. Per le trasformazioni di Laplace bilaterali piuttosto che un singolo valore, l'integrale converge su un certo intervallo di valori noto come Regione di Convergenza.

Proprietà della trasformata di Laplace:

Linearità

Tempo di spostamento

Spostamento nel dominio S.

Inversione del tempo

Differenziazione nel dominio S.

Convoluzione nel tempo

Teorema del valore iniziale

Il teorema del valore iniziale viene applicato quando nella trasformata di Laplace il grado del numeratore è inferiore al grado del denominatore Teorema del valore finale:

Se tutti i poli di sF (s) si trovano nella metà sinistra del piano S, viene applicato il teorema del valore finale.

Trasformata di Laplace inversa

A causa della convergenza, la trasformata di Laplace ha anche una trasformata inversa. Le trasformazioni di Laplace mostrano una mappatura uno a uno da uno spazio funzionale a un altro. La formula per la trasformata inversa di Laplace è

“di cosa sono fatti i semiconduttori? ”

Come calcolare la trasformata di Laplace?

La trasformata di Laplace rende le equazioni più semplici da gestire. Quando viene fornita un'equazione differenziale di ordine superiore, viene applicata la trasformata di Laplace che converte l'equazione in un'equazione algebrica, rendendola così più facile da gestire. Quindi calcoliamo le radici semplificando questa equazione algebrica. Ora si trova la trasformata di Laplace inversa di espressione più semplice che risolve l'equazione differenziale di ordine superiore data.

Calcolo della trasformazione di Laplace

Applicazioni della trasformata di Laplace

Analisi di impianti elettrici e circuiti elettronici .
Scomporre equazioni differenziali complesse in forme polinomiali più semplici.
La trasformata di Laplace fornisce informazioni sugli stati stazionari e transitori.
Nell'apprendimento automatico, la trasformazione di Laplace viene utilizzata per fare previsioni e fare analisi nel data mining.
La trasformata di Laplace semplifica i calcoli nella modellazione del sistema.

Applicazione della trasformata di Laplace nell'elaborazione del segnale

Le trasformate di Laplace sono spesso scelte per l'elaborazione del segnale. Insieme alla trasformata di Fourier, il Trasformata di Laplace viene utilizzato per studiare i segnali nel dominio della frequenza. Quando ci sono piccole frequenze nel segnale nel dominio della frequenza, ci si può aspettare che il segnale sia regolare nel dominio del tempo. Il filtraggio di un segnale viene solitamente eseguito nel dominio della frequenza per il quale Laplace funge da strumento importante per convertire un segnale dal dominio del tempo al dominio della frequenza.

Applicazione della trasformata di Laplace nei sistemi di controllo

I sistemi di controllo sono generalmente progettati per controllare il comportamento di altri dispositivi. Esempio di sistemi di controllo può variare da un semplice regolatore di riscaldamento domestico a un sistema di controllo industriale che regola il comportamento dei macchinari.

In generale, gli ingegneri di controllo utilizzano equazioni differenziali per descrivere il comportamento di vari blocchi funzionali ad anello chiuso. La trasformata di Laplace viene utilizzata qui per risolvere queste equazioni senza la perdita di informazioni variabili cruciali.

Caratterizzazione di sistemi lineari tempo-invarianti mediante trasformata di Laplace

Per un ROC di sistema casuale associato al sistema, la funzione è il semipiano destro. Un sistema è anti-casual se la sua risposta all'impulso h (t) = 0 per t> 0.

Se ROC delle funzioni di sistema H (s) include l'asse jω, allora L.T.I. il sistema è chiamato sistema stabile. Se un sistema casuale con funzioni di sistema razionali H (s) ha parti reali negative per tutti i suoi poli, allora il sistema è stabile.

La trasformata di Laplace è quindi uno strumento cruciale nell'analisi dei circuiti. Possiamo dire come uno stetoscopio sta al dottor Laplace, le trasformate stanno all'ingegnere di controllo. Come consideri le trasformazioni di Laplace? In che modo ti sono stati utili?