Il processo o dispositivo utilizzato per filtrare un segnale da un componente indesiderato è definito filtro ed è anche chiamato elaborazione del segnale filtro. Per ridurre il rumore di fondo e sopprimere i segnali di interferenza rimuovendo alcune frequenze viene chiamato filtraggio. Esistono vari tipi di filtri classificati in base a vari criteri come linearità lineare o non lineare, variante tempo-tempo o invariante tempo, analogico o digitale, attivo o passivo e così via. Consideriamo filtri a tempo continuo lineare come il filtro Chebyshev, il filtro Bessel, il filtro Butterworth e il filtro ellittico. Qui, in questo articolo parliamo della costruzione del filtro Butterworth e delle sue applicazioni.
Filtro Butterworth
Il filtro di elaborazione del segnale che ha una risposta in frequenza piatta nella banda passante può essere definito filtro Butterworth ed è anche chiamato filtro di ampiezza massima piatta. Nel 1930 il fisico e l'ingegnere britannico Stephen Butterworth descrissero per la prima volta un filtro Butterworth nel suo articolo 'sulla teoria degli amplificatori di filtro'. Quindi, questo tipo di filtro denominato filtro Butterworth. Esistono vari tipi di filtri Butterworth come il filtro Butterworth passa basso e il filtro Butterworth digitale.
Butterworth Filter Design
I filtri vengono utilizzati per modellare lo spettro di frequenza del segnale in sistemi di comunicazione o sistemi di controllo. La frequenza d'angolo o frequenza di taglio è data dall'equazione:
Frequenza di taglio
Il filtro Butterworth ha una risposta in frequenza il più piatta possibile dal punto di vista matematico, quindi è anche chiamato filtro di ampiezza massima piatta (da 0Hz a frequenza di taglio a -3dB senza increspature). Il fattore di qualità per questo tipo è solo Q = 0,707 e quindi tutto alte frequenze sopra il punto di cut-off la banda scende a zero a 20dB per decade o 6dB per ottava nella banda di stop.
Il filtro Butterworth cambia da banda passante a banda stop raggiungendo la planarità della banda passante a scapito di ampie bande di transizione ed è considerato come il principale svantaggio del filtro Butterworth. Di seguito sono riportate le approssimazioni standard del filtro passa-basso Butterworth per vari ordini di filtri insieme alla risposta in frequenza ideale definita 'muro di mattoni'.
Risposta in frequenza ideale del filtro Butterworth
Se l'ordine dei filtri Butterworth aumenta, le fasi a cascata all'interno del design del filtro Butterworth aumentano e anche la risposta e il filtro del muro di mattoni si avvicinano come mostrato nella figura sopra.
La risposta in frequenza del filtro Butterworth all'ennesimo ordine è data come
Dove 'n' indica l'ordine del filtro, 'ω' = 2πƒ, Epsilon ε è il guadagno massimo della banda passante, (Amax). Se definiamo Amax alla frequenza di taglio -3dB punto d'angolo (ƒc), allora ε sarà uguale a uno e quindi anche ε2 sarà uguale a uno. Ma, se vogliamo definire Amax in un altro guadagno di tensione valore, considera 1dB o 1.1220 (1dB = 20logAmax), quindi il valore di ε può essere trovato da:
Dove, H0 rappresenta il guadagno massimo della banda passante e H1 rappresenta il guadagno minimo della banda passante. Ora, se trasponiamo l'equazione precedente, otterremo
Utilizzando il tensione standard funzione di trasferimento, possiamo definire la risposta in frequenza del filtro Butterworth come
Dove, Vout indica la tensione del segnale di uscita, Vin indica il segnale di tensione di ingresso, j è la radice quadrata di -1 e 'ω' = 2πƒ è la frequenza in radianti. L'equazione di cui sopra può essere rappresentata nel dominio S come indicato di seguito
In generale, esistono varie topologie utilizzate per implementare i filtri analogici lineari. Tuttavia, la topologia Cauer viene tipicamente utilizzata per la realizzazione passiva e la topologia Sallen-Key viene tipicamente utilizzata per la realizzazione attiva.
Butterworth Filter Design utilizzando la topologia Cauer
Il filtro Butterworth può essere realizzato utilizzando componenti passivi come induttori in serie e condensatori shunt con topologia Cauer - forma Cauer 1 come mostrato nella figura sotto.
Dove, l'elemento K-esimo del circuito è dato da
I filtri che iniziano con gli elementi in serie sono pilotati in tensione e i filtri che iniziano con elementi shunt sono pilotati in corrente.
Butterworth Filter Design utilizzando la topologia Sallen-Key
Il filtro Butterworth (filtro analogico lineare) può essere realizzato utilizzando componenti passivi e componenti attivi come resistori, condensatori e amplificatori operazionali con topologia a chiave di Sallen.
La coppia coniugata di poli può essere implementata utilizzando ogni fase chiave di Sallen e per implementare il filtro globale dobbiamo mettere in cascata tutte le fasi in serie. In caso di polo reale, per implementarlo separatamente come circuito RC gli stadi attivi devono essere collegati in cascata. La funzione di trasferimento del circuito Sallen-Key del secondo ordine mostrato nella figura sopra è data da
Filtro digitale Butterworth
Il design del filtro Butterworth può essere implementato digitalmente sulla base di due metodi abbinati trasformata z e trasformata bilineare. Un progetto di filtro analogico può essere descritto utilizzando questi due metodi. Se consideriamo il filtro Butterworth che ha filtri onnipolari, entrambi i metodi della varianza dell'impulso e della trasformata z abbinata sono equivalenti.
Applicazione del filtro Butterworth
- Il filtro Butterworth viene tipicamente utilizzato nelle applicazioni di conversione dati come filtro anti-aliasing a causa della sua natura di banda passante piatta massima.
- La visualizzazione della traccia del bersaglio radar può essere progettata utilizzando il filtro Butterworth.
- I filtri Butterworth sono spesso utilizzati in applicazioni audio di alta qualità.
- Nell'analisi del movimento vengono utilizzati filtri digitali Butterworth.
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